Formes exponentielles (2) - Corrigé

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Énoncé

Écrire les nombres complexes suivants sous forme exponentielle.

1.  z1=(3+i)(22i)

2.  z2=3i31+i

3.  z3=(i2)15

4.  z4=(13i)2024

5.  z5=(3+i1+i)8

Solution
1. |3+i|=(3)2+12=3+1=4=2
donc   3+i=2(32+12i)=2(cos5π6+isin5π6)=2e5iπ6
Et on a : |22i|=22+(2)2=4+4=8=22
donc 22i=22(222+i222)=22(12+i12)=22(cosπ4+isinπ4)=22eiπ4
Ainsi,
(3+i)×(22i)=2e5iπ6×22eiπ4=42ei(5iπ6π4)=42e14iπ24=42e7iπ12

2. On a : |3i3|=|3+3i|=(3)2+32=3+9=12=23
donc
3i3=3+3i=23(323+323i)=23(12+32i)=23(cos2π3+isin2π3)=23e2iπ3 et  |1+i|=12+12=1+1=2
donc  1+i=2(12+i12)=2(12+i12)=2(cosπ4+isinπ4)=2eiπ4 .

Ainsi  3i31+i=23e2iπ32eiπ4=6ei(2π3π4)=6ei5π12

3. On a : z3=(i2)15=i15215=e15iπ232768=132768eiπ.

4. On a :  |1i3|=12+(3)2=1+3=4=2
soit  1i3=2(12i32)=2(cosπ3+isinπ3)=2eiπ3
donc  z4=(13i)2024=(2eiπ3)2024=22024e2024iπ3 .

5. On a  3+i=2e5iπ6    et   1+i=2eiπ4 .
Donc 
z5=(3+i1+i)8=(2e5iπ62eiπ4)8=(2e5iπ6)8(2eiπ4)8=28e40iπ6(2)8e8iπ4=28e4iπ624e2iπ=16e2iπ3

Source : https://lesmanuelslibres.region-academique-idf.fr
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